休閑生活:玩轉(zhuǎn)空心魔方,淺談數(shù)學(xué)原理

最近看到了一些關(guān)于空心魔方的帖子，也有魔友在QQ交流中談到了這個(gè)問題，主要的問題都是關(guān)于空心魔方無法復(fù)原的問題，對(duì)這個(gè)問題我很感興趣。為此我做了一些思考。
主要的一些疑問是何為空心魔方的未復(fù)原狀態(tài)？怎么才能復(fù)原空心魔方？是否也構(gòu)成組裝的錯(cuò)誤？

我的結(jié)論是：空心魔方?jīng)]有組裝錯(cuò)誤！因?yàn)槭艿街行膲K簇的調(diào)制，中心塊簇的不存在，或者說不能分辨，正是解放了魔方的組狀態(tài)，使得空心魔方的角塊和棱塊簇一定可以有機(jī)會(huì)不通過重組而達(dá)到“復(fù)原”狀態(tài)。（煙頭大哥提醒了以后糾正一下：位置上不存在組裝錯(cuò)誤，色向上存在。）

首先聲明本人沒有空心魔方，但是我可以把實(shí)心三階魔方的中心蓋去掉，在數(shù)學(xué)構(gòu)造上就與空心魔方等效了。

如下魔方動(dòng)畫圖：

我做了如下實(shí)驗(yàn)：
1、
我拆了中心蓋，打亂魔方，試圖按照三階魔方教程來“復(fù)原”。為什么“復(fù)原”要加上雙引號(hào)呢？呵呵，我這里的復(fù)原我得說明一下，有個(gè)概念上的偏差，這個(gè)復(fù)原的意思是各面的顏色相同，呵呵，有人說有偏差嗎？回答是有的，因?yàn)榇藭r(shí)每面只有8個(gè)塊，是否與當(dāng)初的中心塊對(duì)齊了？我們誰都不知道。
2、復(fù)原的結(jié)果是有剩下兩個(gè)位移塊（角塊或棱塊）需要對(duì)換！

如下魔方動(dòng)畫：

3、我又打亂之后復(fù)原了一次，這次竟然復(fù)原了！

4、 之后，我仍然沒有安裝中心塊，但是我用貼紙?jiān)诿總€(gè)中心塊上做了標(biāo)記，白色中心用W表示，紅色R、黃色Y、綠色G、藍(lán)色B、橙色O，貼在了復(fù)原狀態(tài)的沒有中 蓋的相對(duì)應(yīng)中心螺絲上。有人可能會(huì)問，你這樣貼和貼顏色有區(qū)別嗎？我說唯一的區(qū)別是視覺上的區(qū)別，因?yàn)榻酉聛淼氖虑槲胰匀灰騺y魔方以后復(fù)原，但是我仍然 不參照中心，因此為了不在視覺上產(chǎn)生動(dòng)機(jī)，我用了代號(hào)來區(qū)別每個(gè)中心，你也可以用1到6數(shù)字來區(qū)別。

5、我打亂了，試圖復(fù)原，注意，這個(gè)時(shí)候我仍然沒有參照中心，盡管我已經(jīng)用標(biāo)簽區(qū)別了中心。復(fù)原的結(jié)果是有兩個(gè)塊需要對(duì)換！這個(gè)時(shí)候?qū)嶒?yàn)終于達(dá)到了緊張的時(shí)刻，我查看了中心塊的標(biāo)簽，白色面的中心是W，黃色面是Y，綠色面是O、橙色面是B、藍(lán)色面是R、紅色面是G！

答 案揭曉了！4個(gè)中心塊發(fā)生了錯(cuò)誤！他們參與了一次4個(gè)中心塊的輪換，我們都知道，在合法的狀態(tài)變換中，是不存在一個(gè)簇內(nèi)要求偶數(shù)個(gè)塊輪換的?，F(xiàn)在的情況是 4個(gè)中心塊要輪換、2個(gè)角塊（或者棱塊）要對(duì)換，這個(gè)狀態(tài)合法嗎？答：是合法的！那么我們?cè)侔褬?biāo)簽撕掉呢？看起來合法嗎？看起來不合法！正式大家津津樂道 的“無法復(fù)原”狀態(tài)！

我再做個(gè)解釋，有人會(huì)問中心塊是不能移動(dòng)的，那我怎么說中心塊要輪換或者對(duì)換呢。答：這里說的正確位置是相對(duì)周圍的角塊和棱塊而言的，中心塊相對(duì)周圍的塊需要換位，其實(shí)是周圍的塊的位置不正確。

6、之后我又試了一次，這次仍然有一對(duì)位移塊（角塊或棱塊）需要對(duì)換，另外，中心塊的狀態(tài)是有3對(duì)需要對(duì)換，也就是說一共有4組對(duì)換，顯然，也是合法狀態(tài)。

7、然后我又試了幾次，發(fā)現(xiàn)沒有在顏色方向上的錯(cuò)誤，這是不是可以這樣解釋：一旦定義了顏色方向的代號(hào)，計(jì)算各個(gè)簇的色向和，無論從哪個(gè)方向來看總是一樣的，這是魔方的Identiy守恒性的表現(xiàn)。
本 人有淺薄的盲擰能力，無亂從哪個(gè)視角計(jì)算色向和，總是不變的，那么計(jì)算偶環(huán)數(shù)呢？三階魔方的狀態(tài)變換定律說偶環(huán)數(shù)為奇數(shù)則為擾動(dòng)簇，之后我發(fā)現(xiàn)總的偶環(huán)數(shù) 為奇數(shù)是組裝錯(cuò)誤。也就是說，假使是一個(gè)實(shí)心魔方，處于某個(gè)混亂狀態(tài)，我們不通過操作，僅僅通過觀察和計(jì)算，就能判斷這個(gè)魔方是否可以被復(fù)原，而且這種計(jì) 算與我們從前面還是從后面觀察魔方是沒有任何關(guān)系的。但是放在空心魔方上非常奇怪，因?yàn)橐粋€(gè)混亂的空心魔方，你能不通過操作，而僅僅通過直接計(jì)算，得出能 否被復(fù)原嗎？顯然是不能的！講到這里先讓我腦子休息一下，自己有點(diǎn)暈了，呵呵……

好，行了，我繼續(xù)了，我剛才在想這是為什么。因?yàn)榭招哪Х降膹?fù)原其實(shí)是受中心塊調(diào)制的，這個(gè)調(diào)制的過程是在復(fù)原過程中才能體現(xiàn)出來的，所以沒辦法一開始就認(rèn)定是否能復(fù)原。

但是顏色的方向最后發(fā)現(xiàn)總是正確的，我這里說的正確是根據(jù)個(gè)人的初始定義的，也就是說從這個(gè)定義出發(fā)，在任何狀態(tài)下計(jì)算魔方各簇的顏色方向和，是不變的！強(qiáng)吧！沒錯(cuò)吧？

這樣的話是否就可以得出結(jié)論：隨機(jī)復(fù)原空心魔方的成功率是50%，只存在環(huán)的奇偶性的問題。
也就是每次不參照中心塊，復(fù)原和不復(fù)原的機(jī)會(huì)是一半一半，再?gòu)?qiáng)調(diào)一下，這里的復(fù)原是參照每面的八個(gè)顏色而言的，不是參照中心塊而言的。

這樣的話引出下面一個(gè)問題就是如何成功復(fù)原空心魔方？
哈 哈，我自己找了一個(gè)方法，自稱為最爛的方法，但是是萬能方法，不是說偶數(shù)個(gè)中心塊輪換一次就擾動(dòng)了一次嗎？那我就轉(zhuǎn)一下D或者u（一樣的，汗），或者 D’、u’都行的，記得轉(zhuǎn)一下就行了，這樣的話中間層的四個(gè)中心塊不是輪換一次了嗎？然后再參照底層重新來復(fù)原，記得，這個(gè)時(shí)候是從第二層開始復(fù)原的，復(fù) 原下去你就發(fā)現(xiàn)最后能復(fù)原了。那么再來輪換一次呢？又不能復(fù)原了?。ǖ且ＷC參照的對(duì)象，比如我是剩下PLL不能完成，就是說要對(duì)換的位移塊在頂層，因 此我可以輪換中間四個(gè)中心塊，保證可以從中間層開始做。）

講到這里我想問題應(yīng)該差不多了。

最后歸納一下幾個(gè)結(jié)論：
1、
空心魔方在“外觀”上不存在組裝錯(cuò)誤，即使你真的把它拆了重裝，你也一定可以復(fù)原?。m正：色向不一定，位置一定可以復(fù)原）
2、
空心魔方?jīng)]有特別的復(fù)原方法，隨機(jī)復(fù)原的前提下，成功率總是50%，或者說合法組狀態(tài)的外觀復(fù)原與非復(fù)原狀態(tài)數(shù)五五開。與操作者的水平是無關(guān)的。
3、
最后可能剩兩個(gè)唯一塊要對(duì)換，能夠通過一定的方法復(fù)原，需要中心塊擾動(dòng)的參與。為什么說是一定的方法，因?yàn)槟闳绻匦麓騺y了再?gòu)?fù)原，那么成功率仍然是50%。至于到底用什么方法，那是后話了。
4、
空心魔方的主要價(jià)值在于觀賞性（個(gè)人意見哦，不能說是結(jié)論，哈哈）

我是屬于山寨版的，不敢擅闖理論區(qū)，也沒具備專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，只是參考了N階變換定律之類的文章，如果前輩們感覺我哪里講得不對(duì)，還望指正，謝謝！

圖中，中心塊的字母我是用透明膠把字母貼在中心塊上的，就是代表了中心塊的走向。
增加了第三張圖，大家可以看一下，第一張圖我是沒有做標(biāo)簽，其實(shí)是第三張圖的狀態(tài)，和第二張比較一下，一對(duì)棱塊要對(duì)換，還是看一下第三張圖和第二張圖的中間四個(gè)中心塊的標(biāo)簽，發(fā)生了一次四個(gè)中心的輪換，這正是本文要講的關(guān)鍵。

額。。。。。煙頭大哥提醒了，隨意組裝的空心魔方在色向上可能無法翻正，這點(diǎn)疏忽了，糾正一下！

我 得再糾正一下：不同的復(fù)原方法最后可能出現(xiàn)不同的情況，比如用角先法和橋式解法，最后不會(huì)出現(xiàn)特殊情況，這是因?yàn)檫@兩個(gè)體系的最后一步都是與中心塊一起換 位的，也就是說，最后一步的中心塊位置，本身還沒有正確，于是當(dāng)棱塊和角塊都正確了以后，中心塊必定構(gòu)成基態(tài)簇，不會(huì)出現(xiàn)特殊情況。