【本講主要內容】

　　拋物線的定義及相關概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質

　　【知識掌握】

　　【知識點精析】

　　1. 拋物線定義：

　　平面內與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值(離心率e)不同，當e=1時為拋物線，當0

　　2. 拋物線的標準方程有四種形式，參數的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質(如下表)：　　

　　其中為拋物線上任一點。

　　3. 對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化運算。

　　4. 拋物線的焦點弦：設過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，直線與的斜率分別為，直線的傾斜角為，則有，，，，，，。

　　說明：

　　1. 求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數法;若由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律一般用軌跡法。

　　2. 凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。

　　3. 解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質。

　　【解題方法指導】

　　例1. 已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓相交的公共弦長等于，求此拋物線的方程。

　　解析：設所求拋物線的方程為或

　　設交點(y1>0)

　　則，∴，代入得

　　∴點在上，在上

　　∴或，∴

　　故所求拋物線方程為或。

　　例2. 設拋物線的焦點為，經過的直線交拋物線于兩點，點在拋物線的準線上，且∥軸，證明直線經過原點。

　　解析：證法一：由題意知拋物線的焦點　　故可設過焦點的直線的方程為　

   　由，消去得

　　設，則

　　∵∥軸，且在準線上

　　∴點坐標為

　　于是直線的方程為

　　要證明經過原點，只需證明，即證　　注意到知上式成立，故直線經過原點。