第10屆IMO

　　1. 求證有且僅有一個(gè)三角形，它的邊長為連續(xù)整數(shù)，有一個(gè)角是另外一個(gè)角的兩倍。

　　2. 試找出所有的正整數(shù) n，其各位數(shù)的乘積等于 n2 - 10n - 22。

　　3. a, b, c 是不全為0的實(shí)數(shù)。x1, x2, ... , xn 是滿足下述方程組的未知數(shù)：

　　axi2 + bxi + c = xi+1, 對(duì)于 i=1,2,...,n-1;

　　axn2 + bxn + c = x1;

　　若設(shè) M= (b - 1)2 - 4ac ，求證：

　　a. 若 M<0，則方程組無解;

　　b. 若 M=0，則方程組恰有一解;

　　c. 若 M>0，則方程組不止有一個(gè)解。

　　4. 求證任何四面體上都有一個(gè)頂點(diǎn)使得經(jīng)過該頂點(diǎn)的三條邊可構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊。

　　5. 令f是定義在所有實(shí)數(shù)并取值實(shí)數(shù)的函數(shù)，并且對(duì)于某個(gè) a>0及任何 x>0 有

　　f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)2]

　　求證 f 是周期函數(shù)，并且當(dāng) a=1時(shí)請(qǐng)給出一個(gè)非常值函數(shù)的例子。

　　6. 對(duì)任何自然數(shù) n，試計(jì)算下式的值

　　[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2k)/2k+1] + ...

　　其中[x]表示不超過 x 的最大整數(shù)。

　　以上就是關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)競賽題分享，希望能夠幫助到你。