6.四面體ABCD的中心是D0 ，分別過(guò)A、B、C作 DD0 的平行線，這些線分別交平面BCD、CAD、ABD于點(diǎn) A0、 B0、 C0，求證：ABCD的體積是A0B0C0D0的三分之一;再問如果 D0 為三角形ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，結(jié)果是否仍然成立?

　　第7屆IMO

　　1. 試找出所有位于區(qū)間[0, 2pi] 的x使其滿足

　　2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) - √(1 - sin 2x)| ≤ √2 .

　　2. 如下方程組的系數(shù) aij ，

　　a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0

　　a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0

　　a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0

　　滿足：

　　a. a11、 a22、 a33 是正數(shù)，其余是負(fù)數(shù);

　　b. 每個(gè)方程中的系數(shù)之和是正的。

　　求證：該方程組的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。

　　3. 四面體ABCD被平行于AB、CD邊的一個(gè)平面分割成兩部分，并且該平面到AB邊的距離是該平面到CD邊距離的 k倍。試求出 這兩部分的體積比。

　　4. 四個(gè)實(shí)數(shù)，它們中的任何三個(gè)的乘積再加上第四個(gè)數(shù)都等于2，求出這四個(gè)數(shù)的所有可能值。

　　5. 三角形OAB中的角O是銳角，M是邊AB上任意一點(diǎn)，從M向OA、OB邊引垂線，垂足分別為P、Q。設(shè)三角形OPQ的垂心為，求出當(dāng)M在AB邊上移動(dòng)時(shí)點(diǎn)H的軌跡;若M在三角形OAB內(nèi)部移動(dòng)是H的軌跡又是什么?

　　6. 平面上給定了 n>2個(gè)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)之間都有線斷相連，這些線斷長(zhǎng)度中的最大值被定義為這個(gè)點(diǎn)集的直徑，求證：長(zhǎng)度為直徑的線斷至多有n條。

　　第8屆IMO

　　1. 在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中共有A、B、C三道題，25名參賽者每人至少答對(duì)了一題。在所有沒有答對(duì)A的學(xué)生中，答對(duì)B的人數(shù)是答對(duì)C的人數(shù)的兩倍，只答對(duì)問題A的人數(shù)比既答對(duì)A又至少答對(duì)其他一題的人數(shù)多1。又已知在所有恰好答對(duì)一題的參賽者中，有一半沒有答對(duì)A。請(qǐng)問有多少學(xué)生只答對(duì)B?

　　2. 三角形ABC，如果，

　　BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).

　　則該三角形為等腰三角形。

　　3. 求證：從正四面體的內(nèi)切圓圓心到各頂點(diǎn)距離之和小于從空間中任意其他點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和。

　　4. 對(duì)任何自然數(shù) n以及滿足 sin 2nx 不為 0 的實(shí)數(shù)x，求證：

　　1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.

　　5. ai (i=1,2,3,4)是互不相同的實(shí)數(shù)，解方程組(i=1,2,3,4)

　　|ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。

　　6. 在三角形ABC的邊BC、CA、AB上分別任選三內(nèi)點(diǎn)K、L、M，求證三角形AML、BKM、CLK之中至少有一個(gè)的面積小于活等于三角形ABC的四分之一。

　　第9屆IMO

　　1. 平行四邊形ABCD，邊長(zhǎng) AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一個(gè)銳角三角形，求證以A,B,C,D為圓心半徑為1的四個(gè)圓能夠覆蓋此平行四邊形的充要條件是

　　a ≤ cos A + √3 sin A.

　　2. 若四面體有且僅有一邊大于1，求證其體積 ≤ 1/8.

　　3. k, m, n 是自然數(shù) 且 m + k + 1 是一個(gè)大于 n+1 的素?cái)?shù)，令cs = s(s+1)，求證

　　(cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck)

　　可被乘積 c1c2 ... cn整除。

　　4. 任意兩個(gè)銳角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 。考慮所有與三角形 A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角形ABC(即BC邊包含A0，CA邊包含B0，AB邊包含 C0)，試構(gòu)造出滿足此條件的面積最大的三角形ABC。

　　5. a1, ... , a8 是不全為0的實(shí)數(shù)，令 cn = a1n + a2n + ... + a8n ( n = 1, 2, 3, ... )，如果數(shù)列{ cn }中有無(wú)窮多項(xiàng)等于0，試求出所有使 cn=0 的自然數(shù)n。

　　6. 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，連續(xù) n 天內(nèi)(n>1)一共頒發(fā)了 m 塊獎(jiǎng)牌。在第一天，頒發(fā)了一塊獎(jiǎng)牌以及剩下 m-1 個(gè)中的 1/7;在第二天頒發(fā)了兩塊獎(jiǎng)牌以及剩下的 1/7;依此類推。在最后一天即第 n 天，剩下的n塊獎(jiǎng)牌全部頒發(fā)完畢。問該運(yùn)動(dòng)會(huì)共進(jìn)行了幾天，一共頒發(fā)了多少塊獎(jiǎng)牌?