數(shù)學(xué)競賽是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才的有效手段之一?，F(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)競賽是從匈牙利開始的。一些重大數(shù)學(xué)競賽的優(yōu)勝者，大多在他們后來的事業(yè)中卓有建樹。今天和大家分享一下數(shù)學(xué)知識競賽題，一起來看看吧。

　　數(shù)學(xué)知識競賽題推薦

　　第1屆IMO

　　1. 求證(21n+4)/(14n+3) 對每個自然數(shù) n都是最簡分?jǐn)?shù)。

　　2. 設(shè)√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，試在以下3種情況下分別求出x的實(shí)數(shù)解：

　　(a) A=√2;(b)A=1;(c)A=2。

　　3. a、b、c都是實(shí)數(shù)，已知 cos x的二次方程

　　a cos2x + b cos x + c = 0,

　　試用a,b,c作出一個關(guān)于 cos 2x的二次方程，使它的根與原來的方程一樣。當(dāng)a=4,b=2,c=-1時比較 cos x和cos 2x的方程式。

　　4. 試作一直角三角形使其斜邊為已知的 c，斜邊上的中線是兩直角邊的幾何平均值。

　　5. 在線段AB上任意選取一點(diǎn)M，在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，這兩個正方形的外接圓的圓心分別是P、Q，設(shè)這兩個外接圓又交于M、N，

　　(a.) 求證 AF、BC相交于N點(diǎn);

　　(b.) 求證 不論點(diǎn)M如何選取 直線MN 都通過一定點(diǎn) S;

　　(c.) 當(dāng)M在A與B之間變動時，求線斷 PQ的中點(diǎn)的軌跡。

　　6. 兩個平面P、Q交于一線p，A為p上給定一點(diǎn)，C為Q上給定一點(diǎn)，并且這兩點(diǎn)都不在直線p上。試作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD)，使得它有一個內(nèi)切圓，并且頂點(diǎn)B、D分別落在平面P和Q上。

　　第2屆IMO

　　1. 找出所有具有下列性質(zhì)的三位數(shù) N：N能被11整除且 N/11等于N的各位數(shù)字的平方和。

　　2. 尋找使下式成立的實(shí)數(shù)x：

　　4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9

　　3. 直角三角形ABC的斜邊BC的長為a，將它分成 n 等份(n為奇數(shù))，令?為從A點(diǎn)向中間的那一小段線段所張的銳角，從A到BC邊的高長為h，求證：

　　tan ? = 4nh/(an2 - a).

　　4. 已知從A、B引出的高線長度以及從A引出的中線長，求作三角形ABC。

　　5. 正方體ABCDA'B'C'D'(上底面ABCD，下底面A'B'C'D')。X是對角線AC上任意一點(diǎn)，Y是B'D'上任意一點(diǎn)。

　　a. 求XY中點(diǎn)的軌跡;

　　b. 求(a)中軌跡上的、并且還滿足 ZY=2XZ的點(diǎn)Z的軌跡。

　　6. 一個圓錐內(nèi)有一內(nèi)接球，又有一圓柱體外切于此圓球，其底面落在圓錐的底面上。令V1為圓錐的體積，V2 為圓柱的體積。

　　(a). 求證：V1 不等于 V2 ;

　　(b). 求V1/V2 的最小值;并在此情況下作出圓錐頂角的一般。

　　7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令A(yù)B=a,CD=c，梯形的高為 h。X點(diǎn)在對稱軸上并使得 角BXC、AXD都是直角。試作出所有這樣的X點(diǎn)并計算X到兩底的距離;再討論在什么樣的條件下這樣的X點(diǎn)確實(shí)存在。

　　第3屆IMO

　　1. 設(shè)a、b是常數(shù)，解方程組

　　x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2

　　并求出若使x、y、z是互不相同的正數(shù)，a、b應(yīng)滿足什么條件?

　　2. 設(shè)a、b、c是某三角形的邊，A 是其面積，求證：