5、火柴游戲

　　一個(gè)最普通的火柴游戲就是兩人一起玩，先置若干支火柴於桌上，兩人輪流取，每次所取的數(shù)目可先作一些限制，規(guī)定取走最後一根火柴者獲勝。

　　規(guī)則一：若限制每次所取的火柴數(shù)目最少一根，最多三根，則如何玩才可致勝?

　　例如：桌面上有n=15根火柴，甲﹑乙兩人輪流取，甲先取，則甲應(yīng)如何取才能致勝?

　　為了要取得最後一根，甲必須最後留下零根火柴給乙，故在最後一步之前的輪取中，甲不能留下1根或2根或3根，否則乙就可以全部取走而獲勝。如果留下4根，則乙不能全取，則不管乙取幾根(1或2或3)，甲必能取得所有剩下的火柴而贏了游戲。同理，若桌上留有8根火柴讓乙去取，則無(wú)論乙如何取，甲都可使這一次輪取後留下4根火柴，最後也一定是甲獲勝。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴數(shù)為4﹑8﹑12﹑16...等讓乙去取，則甲必穩(wěn)操勝券。因此若原先桌面上的火柴數(shù)為15，則甲應(yīng)取3根。(∵15-3=12)若原先桌面上的火柴數(shù)為18呢?則甲應(yīng)先取2根(∵18-2=16)。

　　規(guī)則二：限制每次所取的火柴數(shù)目為1至4根，則又如何致勝?

　　原則：若甲先取，則甲每次取時(shí)，須留5的倍數(shù)的火柴給乙去取。

　　通則：有n支火柴，每次可取1至k支，則甲每次取後所留的火柴數(shù)目必須為k+1之倍數(shù)。

　　規(guī)則三：限制每次所取的火柴數(shù)目不是連續(xù)的數(shù)，而是一些不連續(xù)的數(shù)，如1﹑3﹑7，則又該如何玩法?

　　分析：1﹑3﹑7均為奇數(shù)，由於目標(biāo)為0，而0為偶數(shù)，所以先取者甲，須使桌上的火柴數(shù)為偶數(shù)，因?yàn)橐以谂紨?shù)的火柴數(shù)中，不可能再取去1﹑3﹑7根火柴後獲得0，但假使如此也不能保證甲必贏，因?yàn)榧讓?duì)於火柴數(shù)的奇或偶，也是無(wú)法依照己意來(lái)控制的。因?yàn)椤才?奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴數(shù)奇偶相反。若開(kāi)始時(shí)是奇數(shù)，如17，甲先取，則不論甲取多少(1或3或7)，剩下的便是偶數(shù)，乙隨後又把偶數(shù)變成奇數(shù)，甲又把奇數(shù)回覆到偶數(shù)，最後甲是注定為贏家;反之，若開(kāi)始時(shí)為偶數(shù)，則甲注定會(huì)輸。

　　通則：開(kāi)局是奇數(shù)，先取者必勝;反之，若開(kāi)局為偶數(shù)，則先取者會(huì)輸。

　　規(guī)則四：限制每次所取的火柴數(shù)是1或4(一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù))。

　　分析：如前規(guī)則二，若甲先取，則甲每次取時(shí)留5的倍數(shù)的火柴給乙去取，則甲必勝。此外，若甲留給乙取的火柴數(shù)為5之倍數(shù)加2時(shí)，甲也可贏得游戲，因?yàn)橥娴臅r(shí)候可以控制每輪所取的火柴數(shù)為5(若乙取1，甲則取4;若乙取4，則甲取1)，最後剩下2根，那時(shí)乙只能取1，甲便可取得最後一根而獲勝。

　　通則：若甲先取，則甲每次取時(shí)所留火柴數(shù)為5之倍數(shù)或5的倍數(shù)加2。6、韓信點(diǎn)兵

　　韓信點(diǎn)兵又稱(chēng)為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說(shuō)，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。

　　我們先考慮下列的問(wèn)題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少?

　　首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945(注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積)，然後再加3，得9948(人)。

　　中國(guó)有一本數(shù)學(xué)古書(shū)「孫子算經(jīng)」也有類(lèi)似的問(wèn)題：「今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何?」

　　答曰：「二十三」

　　術(shù)曰：「三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得。」

　　孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過(guò)根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之後，以這個(gè)考證來(lái)說(shuō)上面這種問(wèn)題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問(wèn)題的推廣及其解法，被稱(chēng)為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。